Basic Math Notes

Notación Matemática Básica

• Tal que cumpla con una cierta propiedad usamos $ : $ o $ / $

• Cuantificador existencial ($\exists $): Usado para decir que existe un cierto elemento

  • Ejemplo: Existe un $x$ tal que $x + 2 = 3$ ; se escribe $\exists x : x + 2 = 3$

• Cuantificador existencia y Unicidad ($\exists !$): Usado para decir que un elemento existe y es único

• Cuantificador Universal / Para todos ($\forall$): Usado para decir que para todos los elementos de un conjunto se cumple una cierta propiedad

  • Ejemplo: Para todo $x$ se cumple que $x = x$ ; se escribe $\forall x , x = x $

• Pertenece ($\in$): Usado para decir que un elemento $x$ pertenece o esta incluido en un conjunto

  • Ejemplo: $x$ pertenece a $A$ ; se escribe $x \in A$

• No Pertenece ($\notin$): Usado para decir que un elemento $x$ no pertenece a conjunto $A$

  • Ejemplo: $x$ no pertenece a $A$ ; se escribe $x \notin A$

• Inclusión de conjuntos ($\subset$):significa estar contenido en por lo que $A \subset B$ significa que el conjunto $A$ esta incluido en $B$

• Inclusión e igualdad de conjuntos ($\subseteq$):significa estar contenido en o ser igual por lo que $A \subseteq B$ significa que el conjunto $A$ esta incluido o es igual al conjunto $B$

• Ejemplo: Para todo $x$ existe un $y$ (que pertenece a los reales) tal que $x$ más $y$ es igual a cero. Se escribe: $\forall x \exists y \in \mathbb{R} : x + y = 0$

Conjuntos

• Un conjunto es una colección de objetos distintos (no ordenados), es decir se puede encontrar números, palabras, letras, etc. (denotados con letras mayúsculas)

• Los objetos que están en un conjunto se denomina elementos (denotados con letras minúsculas)

• Formas de determinar, definir o especificar un conjunto:

  • Enumeración: especificamos cada uno de los elementos del conjunto, por ejemplo: $A=\{ a,b,c \}$ ; $B=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$
  • Descripción Con una expresión matemática o descripción verbal simbólica de los elementos, por ejemplo: Los numeros $n$ (que pertenece a los naturales) tales que existe un $m$ (que pertenece a los naturales) de forma que $n$ es dos veces $m$ se escribe como: $P=\{ n \in \mathbb{N} : \exists m \in \mathbb{N} | n=2m\} = $ "Números Pares"

• Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos (el orden no importa y los elementos son únicos)

• Diagramas de Venn son una representación graficas de un conjunto

• Un conjunto $A$ está incluido en $B$ si todos los elementos de $A$ están en $B$ (No se necesitamos que todos los elementos de $B$ estén en $A$). Si $A \subset B$ decimos que $A$ es un subconjunto de $B$

• El conjunto vacío es un conjunto con cero elementos y por ende siempre es subconjunto de otro conjunto

• Dado un conjunto $A$ las partes de A ($\mathscr{P}(A)$) se refiere a un nuevo conjunto donde los elementos son todos los subconjuntos de $A$ (incluyéndose a si mismo y al conjunto vacío)

• Operaciones entre conjuntos:
  • Unión ($\cup$): se "suman" los elementos de los conjuntos resultando en un conjunto con los elementos de ambos (se desprecian las repeticiones)
  • Intersección ($\cap$): los elementos que existen al mismo tiempo en ambos conjuntos
  • Diferencia($\setminus$): importa el orden, se "substraen" los elementos del operador de la derecha y es decir tomar el conjunto de la izquierda y quitarle todos los que están en el de la derecha
  • Diferencia Simétrica($\Delta$): Es un nuevo conjunto que contiene los elementos que estaban en $A$ pero no en $B$ y los que estaban en $B$ pero no en $A$. Lo opuesto a la intersección, se unen los conjuntos y se les quita lo que tenían en común (la intersección)

Conjuntos Numéricos

• Un Sistema de Numeración es un conjunto de normas y reglas para escribir y trabajar con números

• Los Números Naturales ($\mathbb{N}$) es el conjunto de los números con los que se cuenta o contabiliza (Solo incluye los positivos) $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5,...\}$

• Los Números Enteros ($\mathbb{Z}$) es el conjunto de los números naturales mas los numero naturales cambiados de signo $\mathbb{Z} = \{\pm a: a \in \mathbb{N} \} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

• Los Números Racionales ($\mathbb{Q}$) es el conjunto de los números fraccionales $\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac ab : a,b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \right\} $ $a$: numerador $b$: denominador. Se pueden expresar como Decimales ($\mathbb{D}$) Exactos (Ejemplo: $\frac 52 = 2.5$) o Periódicos (Ejemplo: $\frac 53 = 1 + \frac 23 = 1.6666 \cdots = 1.\overparen{6}$)

• Irracionales ($\mathbb{I}$): Se refiere al conjunto de números decimales que no son exactos ni periódicos
• Los Números Reales ($\mathbb{R}$) es el conjunto de los números decimales

Potencias, Exponentes y Raíz

• base ($a,b$) numero real ($a,b \in \mathbb{R}$)
• exponente ($n,m,p,q$) numero entero ($n,m,p,q \in \mathbb{Z}$)

Números complejos

• Al conjunto de los números complejos se denota como $\mathbb{C}$

• Hay muchas ecuaciones que no podemos resolver trabajando solo con números reales. Por ejemplo:

  • $x^2+1=0$
  • $x^2+x+1=0$
  • $x^4+x^2+1=0$

• Al numero $\sqrt{-1}$ se le denomino numero imaginario representándolo como $i$ y esta demostrado que con la raíz cuadrada de $-1$ se puede resolver cualquier ecuación (Gauss 1799) creada con la combinación de números reales y complejos

$$i = \sqrt{-1}$$ $$i^2 = -1$$

• Siendo $a$ y $b$ dos números reales se llama numero complejo $z$ a la expresión $z = a + ib$ ; donde $i = \sqrt{-1}$
  • $a$ es la parte real y se denota como $a=Re(z)$
  • $b$ es la parte imaginaria y se denota como $b=Im(z)$
  • Si $a=0$ y $b \ne 0$ el numero complejo $0+ib$ es imaginario puro
  • Solo son iguales cuando tiene iguales sus dos componentes (real e imaginario). Es decir $a+ib=c+id \Rightarrow a=c ; b=d$

Siendo $z=z_1=a+ib$ ; $z_2=c+id$

• El plano complejo se usa para representar números complejos donde en en el eje de las X graficamos parte real y en el eje de las Y la parte imaginaria
  • Cada numero complejo le corresponde un punto en el plano complejo llamado afijo
  • El modulo es la distancia del numero complejo al origen
  • El argumento de un numero complejo es el ángulo formado por el semieje positivo real y el vector del numero complejo, este puede tomar infinitos valores que difieren en múltiplos de $2\pi = 360°$

• Formas de Expresión de números complejos

Formula General / "La Chicharronera"

• Formula para ecuaciones de segundo grado del tipo: $ax^2+bx+c=0$

$$x = \dfrac{-b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

• Factorizar una ecuación de segundo grado es buscar dos números que multiplicados den $c$ y sumados $b$. Siempre y cuando $a=1$. Ejemplos:
  • $x^2+x-6=(x-2)(x+3)=0$
  • $4x^2-4x+1=4(x^2-x+1/4)=4(x-1/2)(x-1/2)=4(x-1/2)^2=0$

Algebra y Ecuaciones

• Una ecuación algebraica de grado $n$ con una incógnita $x$ es una igualdad de la forma
  • Donde $a_1,a_2, \ldots,a_n, b \in \mathbb{R}$ son términos conocidos

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x = b $$

• Pata ecuaciones de primer grado basta con despejar, con ecuaciones de segundo grado usualmente se usa la formula general y para ecuaciones de grado superior se puede graficar y ver las intersecciones en cero o usar la Regla de Ruffini

• La solución o soluciones de una ecuación se refiere a el valor o los valores de las incógnitas que hacen que se cumpla la igualdad

• Una ecuación lineal de $n$ incógnitas $x_1,x_2,\ldots,x_n$ es una igualdad en la que las incógnitas no están elevadas a ninguna potencia ni como argumento de otras funciones matemáticas, es decir es del tipo: $$a_11x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=b$$

• Un sistema ecuaciones lineales de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas $x_1,x_2,\ldots,x_n$ es un conjunto de $m$ igualdades de la forma

$$ \left\lbrace\eqalign{a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \cr a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \cr \cdots \cdots \cdots \cr a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+ \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \cr}\right\rbrace$$

Matricez

• Una matriz de orden $m \times n$ es un conjunto de números de $m$ (filas) por $n$ (columnas)

$$A_{m \times n}=\left(\begin{array}{c & c & c & c} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \cr a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \cr \end{array}\right) $$

• Operaciones con Matrices:

  • Suma/Resta ($A_{m \times n}+B_{m \times n}$): Suma o resta de elementos uno a uno (matrices necesitan ser de las mismas dimensiones)
  • Producto con escalar ($k \cdot A_{m \times n}$): Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar/numero
  • Producto de Matrices ($A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}$) Se multiplican una matriz $A_{m \times n}$ por una matriz $B_{n \times p}$ (numero de columnas de la primera debe ser igual al numero de filas de la segunda). Los elementos se obtienen al sumar el resultado de multiplicar columnas por filas, es decir se multiplica fila de la primera ($A_{k \times n}$) por columna de la segunda ($B_{n \times k}$) resultando en una matriz $C_{m \times p}$ donde los elementos se calculan con $c_{ij}=\sum_{k=1}^n{a_{ik} \cdot b_{kj}}$
    • El producto de matrices no es conmutativo es decir $AB$ puede ser diferente a $BA$ (el orden de los factores SI puede alterar el producto en este caso)

• Tipos de Matrices:

  • Matriz fila o vector fila es una matriz de orden $1 \times n$
  • Matriz columna o vector columna es una matriz de orden $m \times 1$
  • Matriz nula ($O$) es una matriz donde todos sus elementos son nulos (son cero)
  • Matriz traspuesta es la que se obtiene de cambiar las filas por las columnas
  • Matriz opuesta es la que se obtiene de cambiar cada elemento por su negativo
  • Matriz Cuadrada son las que tiene el mismo numero de filas y columnas por lo que se puede definir su diagonal principal la cual esta conformada por los elementos $a_{1,1}, a_{2,2}, a_{3,3} \ldots a_{n,n}$
  • Matriz Diagonal es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos excepto por los elementos en la matriz diagonal
  • Matriz Unidad o Matriz Identidad ($I$) es una matriz diagonal con valores de 1, es decir todos sus elementos son cero excepto por los de la diagonal principal los cuales son 1
  • Matriz Simétrica es una matriz cuadrada que es simétrica con respecto a la diagonal principal, es decir la diagonal principal es un espejo lo que esta por debajo de esta es igual a lo que esta por arriba (si doblamos la matriz con respecto a la diagonal principal los elementos coinciden). La matriz anti-simétrica es la que es un espejo negativo es decir es como la simétrica pero de uno de los lados los elementos tienen el signo opuesto, y en la diagonal principal hay ceros

• Método de Gauss Método para resolver sistemas de ecuaciones que consiste en resolver el sistema mediante transformaciones, es decir multiplicar una ecuación del sistema, luego sumarla a otra para eliminar una de las incógnitas. Buscamos crear ceros por debajo de la diagonal de la matriz lo que resulta en un sistema de ecuaciones equivalente pero mas sencillo del cual podemos despejar directamente la incógnita $x_n$, sustituir en otra ecuación del sistema este valor, obtener la incógnita $x_{n-1}$ y así sucesivamente

$$G_M=\pmatrix{ a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \ldots & a_{1,{n-1}} & a_{1,n} & b_1 \cr 0 & a_{2,2} & a_{2,3} & \ldots & a_{2,{n-1}} & a_{2,n} & b_2\cr 0 & 0 & a_{3,3} & \ldots & a_{3,{n-1}} & a_{3,n} & b_3\cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\cr 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{{m-1},{n-1}} & a_{{m-1},n} & b_{m-1}\cr 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{m,n} & b_m\cr }$$

• Si el sistema tiene solución única se puede dejar con ceros abajo de la diagonal
• Si el sistema tiene múltiples soluciones (infinitas) el ultimo renglón da todo ceros
• Si el sistema no tiene solución en el ultimo renglón da una igualdad errónea por ejemplo $0=b_m$

• El determinante ($det(A)=|A|$) de una matriz cuadrada es un numero asociado a la matriz que ayuda a saber si la matriz tiene inversa si $|A| \ne 0$ o no la tiene si $|A|$ = 0
  • El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta
  • Si todos los elementos de una fila son cero o proporcionales o dos columnas son iguales el determinante es cero
  • Intercambiar filas solo le cambia el signo al determinante su valor absoluto se mantiene
  • Si todos los elementos de una fila tiene un factor común se puede sacar como factor y multiplicar el determinante $k|A|$)
  • Si a una fila o columna se le suma un múltiplo de otra fila o columna el determinante no cambia

$$det(A_{2 \times 2})=\left|\begin{array}{c & c &} a_{1,1} & a_{1,2} \cr a_{2,1} & a_{2,2} \cr \end{array}\right| = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1} $$

$$det(A_{3 \times 3})=\left|\begin{array}{c & c & c} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \cr a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \cr a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \cr \end{array}\right| = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{3,2}a_{2,3} - a_{3,3}a_{1,2}a_{2,1} $$

• Matriz Inversa y Regular ($A^{-1}$) matriz que cumple $A^{-1}A=AA^{-1}=I$. Para calcularla:

  1. Dejar la $A^{-1}$ con sus elementos como incógnitas hacer la multiplicación $A^{-1}A=I$, calcular $AA^{-1}=I$ y obtener un sistema de ecuaciones de ahí para obtener los valores de los elementos de $A^{-1}$ si da un sistema sin solución quiere decir que la inversa no existe
  2. Juntar la matriz $A$ y la identidad $I$ como $(A | I)$ realizar transformaciones para intentar obtener la matriz identidad del lado izquierdo (no se pueden intercambiar columnas) al hacer esto la matriz que quede del lado derecho será la inversa $(I | A^{-1})$
  3. Con el método de los adjuntos ($A_{1,1}, A_{2,1}, .... A_{n,m}$) donde los adjuntos se obtienen con $A_{i,j}=(-1)^{i+j} |\alpha_{i,j}|$ donde $|\alpha_{i,j}|$ es el determinante de la sub-matriz complementaria del elemento $i,j$ ; es decir se elimina la fila $i$ y columna $j$ y a esta matriz resultante se le calcula el determinante con lo que se obtiene $|\alpha_{i,j}|$ $$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\pmatrix{ A_{1,1} & A_{1,2} & \ldots & A_{n,1} \cr A_{1,2} & A_{2,2} & \ldots & A_{n,2} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr A_{1,n} & A_{2,n} & \ldots & A_{n,n} \cr }$$

• Regla de Cramer Es un método para resolver sistemas de ecuaciones a través de las determinantes

Referencias

• Bases Matemáticas: Números y terminología
• Bases Matemáticas: Algebra