PRECALCULO

Funciones

• Expresión que a cada valor $x$ le asigna otro valor correspondiente $f(x)$ o $y$

• Expresado mas formalmente siendo $A$ y $B$ dos conjuntos una función $f(x)$ es una regla que asigna cada elemento $x \in A$ un solo elemento en $B$

  • Donde $A$ es el dominio ($D_f$) que se refiere a los posibles valores que acepta la función (es decir $x$), mientras que $B$ es el rango ($R_f$) que son los valores resultantes de aplicar $f(x)=y$ en el dominio
  • $x$ es la variable independiente mientras que $y=f(x)$ es la variable dependiente

• Ejemplos de Funciones:

  • $S(n)=\dfrac{n \cdot (n+1)}{2} \dashrightarrow D_f=\mathbb{N}$
  • $f(x) = x^2 \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}$ ; $R_f=\mathbb{R}^+ = [0,+\infty)$
  • $f(x)=\sin(x) \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}$ ; $R_f= [-1,1]$
  • $f(x)=\dfrac{1}{x} \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}-\{0\}$ ; $R_f= (-\infty,0) \cup (0,\infty)$
  • Polinómicas: $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_2x^2+a_1x + a_0 \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}$ ; $R_f=$ usualmente todos los reales o un subconjunto
  • Recta: $f(x)=mx+b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ es el cruce con el eje $y$

• Una función es continua en un punto $a \in \mathbb{R}$ si $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) $. Condiciones de continuidad

  • $f(a)$ debe estar definido o exista en ese punto $a$
  • Debe existir el limite $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ (si ambos limites por derecha e izquierda existen y son iguales entonces el limite existe)
  • Ambos valores anteriores son iguales

Composición de funciones se define como $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ y $(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Limites

• Nos dicen el valor al que tiende una función ($f(x)$) cuando su variable ($x$) tiende a un cierto valor ($a$)

• Se puede interpretar como una tendencia o aproximación de la función

$$L=\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$$

• Limites comunes $$\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\dfrac{k}{x} = 0 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin(x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin(x)} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\tan(x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x} = 0$$

• Cuando se tienen división de polinomios y el limite tiende a infinito se pude intentar dividir todos los términos del numerador y denominador por la variable de mayor potencia del denominador, simplificar y luego evaluar el limite

Fracciones parciales

• Nos sirven expresar funciones racionales (división de polinomios) del tipo $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ en una suman de fracciones mas simples

• Proceso:

  1. Identificar cual de los 4 tipos de función racional tenemos (lineal no repetidas, lineal repetidas, cuadráticos no repetidos, cuadráticos repetidos)
  2. Igualamos la función a las fracciones parciales correspondientes con las incógnitas $A,B,C, \ldots, Z$
  3. sacamos comun denominador y hacemos multiplicaciones necesarias en el numerador, para dejar ambos lados de la igualdad con el mismo denominador, el cual se elimina de ambos lados
  4. Agrupamos términos del mismo orden y ahora podemos hacer igualaciones de los coeficientes para obtener un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son $A,B,C, \ldots, Z$
  5. Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos los valores en las fracciones del paso 2

Lineales No Repetidas

$$\dfrac{P(x)}{(x-C_1)(x-C_2)\cdots(x-C_n)} = \dfrac{A}{x-C_1}+\dfrac{B}{x-C_2}+\dfrac{C}{x-C_3}+\cdots+\dfrac{Z}{x-C_n}$$

Lineales Repetidas

$$\dfrac{P(x)}{(x-C_1)^n} = \dfrac{A}{x-C_1}+\dfrac{B}{(x-C_1)^2}+\dfrac{C}{(x-C_1)^3}+\cdots+\dfrac{Z}{(x-C_1)^n}$$

Cuadráticos No Repetidos

$$\dfrac{P(x)}{(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)\cdots(a_nx^2+b_nx+c_n)} = \dfrac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{Cx+D}{a_2x^2+b_2x+c_2}+\cdots+\dfrac{Yx + Z}{a_nx^2+b_nx+c_n}$$

Cuadráticos Repetidos

$$\dfrac{P(x)}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^n} = \dfrac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{Cx+D}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^2}+\cdots+\dfrac{Yx + Z}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^n}$$

Logaritmos

• Son otra forma de escribir un exponente
• Son el inverso de la notación exponencial
• Son el Exponente ($E$) al que hay que elevar la base ($b$) para obtener el argumento $A$ del logaritmo

$$A = b^E \Longleftrightarrow E = \log_b(A)$$

• Logaritmo Neperiano ($\ln$) es el logaritmo donde la base es el numero de Euler ($e$) es decir $\log_e(x)=\ln(x)$

• Si no se especifica la base por convención se asume que la base es decimal $\log_{10}(x)=\log(x)$

Función logarítmica

$$y = f(x) , x > 0 , b > 0 , b \ne 1 $$ $$\boxed{y = \log_b(x) \Leftrightarrow b^y = x}$$ $$\boxed{y = \ln(x) \Leftrightarrow e^y = x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \log_b(x) = -\infty $$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \log_b(x) = +\infty$$

Trigonometría

$$\boxed{\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1}$$ $$\sin^2(x) = (1/2)(1-\cos(2x))$$ $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$ $$\cos(2x) = 1- 2\sin^2(x)$$

Calculo

• El calculo se centra en dos operaciones la derivación y la integración, ambas definidas en términos de limites, la relaciona entre estas operaciones constituye el Teorema Fundamental del Calculo

Derivada

• Sea $f$ una función real y sea $x_0$ un numero perteneciente a los reales ($x \in \mathbb{R}$). Se dice que $f$ es derivable en $x_0$ denominada derivada de $f$ en $x_0$ y denotada por $f'(x_0)$ si existe el siguiente limite:

$$f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

• Si $h=x-x_0$ entonces $x=x_0+h$ y como cuando $x$ tiende a $x_0$ ($x \rightarrow x_0$) entonces $h$ tiende a cero ($h \rightarrow 0$) por lo tanto

$$f'(x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

• Rescribiendo para $x$ tenemos la definición de derivada

$$\boxed{f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

• La derivada es la pendiente de la recta tangente en un cierto punto de una función.
  • Recta secante es una recta que pasa por dos puntos de una función $f$ considerando esta recta, al dejar un punto fijo ($x$) y tomando valores cada vez mas cercanos a este punto fijo ($h \rightarrow 0$) obtenemos una colección de rectas secantes, la recta a la que tienden estas secantes es la recta tangente la cual tiene la forma $y_{T} = f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)$

• Derivabilidad implica continuidad: Cualquier función derivable en un punto $x_0$ es continua en dicho punto

• Derivadas sucesivas $\dfrac{d^n}{dx^n}f(x)$ son las obtenidas al derivar mas de una vez una función obteniendo la segunda derivada ($f''(x)$), tercer derivada ($f'''(x)$), etc.

Propiedades de la Derivada

Composición de funciones se define como $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ y $(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Derivadas de funciones elementales

Regla de la cadena

Regla de la cadena se usa cuando nos piden derivar una funcion $f(u)$ pero $u$ depende de $x$, es decir $u=u(x)$, en estos casos la derivada con respecto de $x$ ($f'=\dfrac{df}{dx}$) es $$\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$$

Polinomio de Taylor

• Polinomio de Taylor La idea es encontrar un polinomio ($P(x)$) que aproxime a una función ($f(x)$) alrededor de un cierto punto ($x=a$).
  • Si $a=0$ es decir estra centrado en $x=0$ se le llama Polinomio de McLaurin

$$f(x) \approx P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \sum_{n=o}^n \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Derivación implícita

• Para funciones en los que la variable dependiente ($y$) no esta despejada se puede seguir la regla de derivación implícita que consiste en:
  1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto de la variable independiente ($x$)
  2. para miembros que tengan solo términos de $x$ se deriva normalmente con respecto a $x$
  3. para miembros que tengan solo términos de $y$ se deriva con respecto a $y$ se usa la regla de la cadena ya que se puede considerar a $y=g(x)$, es decir se deriva como si fuera con respecto a $y$ y se agrega un termino de $y'$ (recordando que $y'=\dfrac{dy}{dx}$)
  4. Para miembros con $x$ y $y$ usar la propiedad de multiplicación de derivadas

Regla de L'Hôpital

• Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones derivables en un punto $x=a$ de forma que $g'(a) \ne 0$ tales que $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 0$ y $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$ entonces se cumple
  • Usado para calcular limites con indeterminación del tipo $0/0$
  • Se puede aplicar en cadena, es decir varias veces siempre y cuando se siga dando la indeterminación del tipo $0/0$

$$ \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} $$

Aplicaciones de la derivada

Crecimiento/Decrecimiento

• Se dice que una función creciente o decreciente en un conjunto $S$ donde para todo par de $x_1$ y $x_2$ de $S$ de forma que $x_1 < x_2$ se cumple que:

  • Creciente: $f(x_2) \ge f(x_1)$ por lo que $f'(x) > 0$ (La derivada es positiva) y viceversa si $f'(x) > 0$ la función es creciente
  • Decreciente: $f(x_2) \le f(x_1)$ por lo que $f'(x) < 0$ (La derivada es negativa) y viceversa si $f'(x) < 0$ la función es decreciente

• Para ver si una función es creciente o decreciente se puede

  1. derivar la función
  2. igualar a cero la derivada (Buscamos ver cuando cambia de signo la pendiente) y resolver la ecuación para $x$
  3. evaluar la derivada antes y después del punto encontrado anteriormente, si son varios puntos evaluar antes y después de cada punto. Donde sea positiva es creciente y donde sea negativa es decreciente

Máximos/Mínimos

• Sea $f$ definida en $c$ si $f'(c) = 0$ o bien $f$ NO es derivable en $c$ entonces $c$ es un valor critico o punto critico

• Para encontrar los máximos y mínimos en un intervalo $[a,b]$ se puede:

  1. Encontrar todos los puntos críticos (puntos en los que $f'(c) = 0$ o f$ NO es derivable) en el intervalo
  2. Evaluar $f$ en los puntos críticos encontrados con anterioridad y que estén en el intervalo $(a,b)$
  3. Evaluar $f$ en los extremos $a$ y $b$
  4. El valor mas grande de los valores obtenidos en los pasos anteriores es un máximo y el valor mas pequeño es un mínimo en el intervalo $[a,b]$

No todos los valores críticos son máximos o mínimos

• El Criterio de la primea derivada dice que, en algún intervalo $I$:

  • Si $f'(x)$ cambia en $c$ de negativa (decreciente) a positiva (creciente) $f(c)$ es un mínimo relativo
  • Si $f'(x)$ cambia en $c$ de positiva (creciente) a negativa (decreciente) $f(c)$ es un máximo relativo

• Sea $f$ una función derivable en un intervalo $I$ en ese intervalo:

  • La grafica de $f$ es cóncava hacia arriba ($\bigcup$) si $f''(x) > 0$
  • La grafica de $f$ es cóncava hacia abajo ($\bigcap$) si $f''(x) < 0$

• Punto de inflexión ($c_i$) de un función es aquel en el que la concavidad cambia de sentido es decir $f''(c_i) =0$ o bien $f''(c_i)$ no existe (No es derivable)

• El Criterio de la segunda derivada dice que siendo $c$ un punto critico en algún intervalo $I:

  • Si $f''(c) > 0$ entonces $f(c)$ es un mínimo relativo
  • Si $f''(c) < 0$ entonces $f(c)$ es un máximo relativo
  • Si $f''(c) = 0$ en $f(c)$ el criterio no decide y hay que usar el criterio de la primera derivada

Integral

• La primitiva o calculo de la integral es una función $F(x)$ que al derivarla da $f(x)$ es decir: $\dfrac{dF(x)}{dx} = F'(x) = f(x)$

$$\boxed{\intop{f(x)dx} = F(x) \Longleftrightarrow F'(x)=\dfrac{F(x)}{dx} = f(x)}$$

Integral definida

• Se refiere al área bajo la curva en un intervalo $a,b$ dado de una funcion

$$\boxed{\int_a^b f(x)dx = F(x) \Big\vert_{a}^b = F(b) - F(a)}$$

Propiedades de la Integral

Integrales de funciones elementales

Integración de potencias sumas uno al exponente y el resultado se pone dividiendo (el inverso multiplica)

• Para división de polinomios (funciones racionales) del tipo $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ se puede intentar descomponer en fracciones parciales para intentar dejar polinomios mas simples para integrar

• Si se busca integrar una función del tipo $\dfrac{A}{ax^2+bx+c}$ donde $b^2-4ac < 0$ se puede completar al cuadrado el denominador (reorganizarlo) y dejarlo en la forma de la integral de la arcotangente

• El método de integración de cambio de variable es el mas comun y usualmente se usa para funciones que tiene exponentes o radicales, se basa en sustituir términos o expresiones por una variable (por ejemplo $u$), derivar para obtener el diferencial $du$ sustituir en la integral original para buscar obtener una expresión en términos de la nueva variable $u$ que sea mas simple e integrable

  • Si después de sustituir en términos de la nueva variable la integral no se simplifica el método quizá no sea el adecuado para esta integral

• El método de integración por partes se usa para integrar funciones conformadas por el producto de funciones mas simples ($u(x)$ y $\nu(x)$) y estas funciones no están relacionados (por ejemplo una siendo al derivada de la otra)

  1. Se toma una de las funciones como $u$
  2. El resto de la expresión que debe ser la otra función junto con el diferencial se toma como $d\nu$
  3. se integra $d\nu$ para obtener $\nu$
  4. se usa la formula $\intop{ud\nu} = u\nu - \intop{\nu du}$ donde la ultima integral debería de ser mas fácil que resolver que la original

     $u$ es algo que queremos derivar y $d\nu$ es algo que queremos integrar

la integración por partes se puede aplicar varias veces buscando quizá obtener un termino de la integral individual que se pueda agrupar y despejar

• El método de integración de sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tengan términos del tipo $\sqrt{a^2 \pm u^2}$ o $\sqrt{u^2-a^2}$

Teorema fundamental del calculo

• De manera informal si se tienen una función $f(x)$ y se obtiene su derivada el área bajo la curva de la derivada es la función original $f(x)$

$$\boxed{\boxed{\intop{\dfrac{df(x)}{dx}dx = f(x)}}}$$

El area bajo la curva de la función que nos dice como cambia $f(x)$ con respecto a $x$ (la derivada) es la función original

Referencias

• Bases Matemáticas: Derivadas