Calculus

Single Variable Calculus Notes. Differential & Integral Calculus Notes


Last Updated: December 20, 2020 by Pepe Sandoval



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PRECALCULO

Funciones

  • Expresión que a cada valor $x$ le asigna otro valor correspondiente $f(x)$ o $y$
  • Expresado mas formalmente siendo $A$ y $B$ dos conjuntos una función $f(x)$ es una regla que asigna cada elemento $x \in A$ un solo elemento en $B$
    • Donde $A$ es el dominio ($D_f$) que se refiere a los posibles valores que acepta la función (es decir $x$), mientras que $B$ es el rango ($R_f$) que son los valores resultantes de aplicar $f(x)=y$ en el dominio
    • $x$ es la variable independiente mientras que $y=f(x)$ es la variable dependiente
  • Ejemplos de Funciones:
    • $S(n)=\dfrac{n \cdot (n+1)}{2} \dashrightarrow D_f=\mathbb{N}$
    • $f(x) = x^2 \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}$ ; $R_f=\mathbb{R}^+ = [0,+\infty)$
    • $f(x)=\sin(x) \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}$ ; $R_f= [-1,1]$
    • $f(x)=\dfrac{1}{x} \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}-\{0\}$ ; $R_f= (-\infty,0) \cup (0,\infty)$
    • Polinómicas: $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_2x^2+a_1x + a_0 \dashrightarrow D_f=\mathbb{R}$ ; $R_f=$ usualmente todos los reales o un subconjunto
    • Recta: $f(x)=mx+b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ es el cruce con el eje $y$
  • Una función es continua en un punto $a \in \mathbb{R}$ si $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) $. Condiciones de continuidad
    • $f(a)$ debe estar definido o exista en ese punto $a$
    • Debe existir el limite $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ (si ambos limites por derecha e izquierda existen y son iguales entonces el limite existe)
    • Ambos valores anteriores son iguales

Composición de funciones se define como $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ y $(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Limites

  • Nos dicen el valor al que tiende una función ($f(x)$) cuando su variable ($x$) tiende a un cierto valor ($a$)

  • Se puede interpretar como una tendencia o aproximación de la función

$$L=\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$$

  • Limites comunes $$\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\dfrac{k}{x} = 0 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin(x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin(x)} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\tan(x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x} = 0$$

  • Cuando se tienen división de polinomios y el limite tiende a infinito se pude intentar dividir todos los términos del numerador y denominador por la variable de mayor potencia del denominador, simplificar y luego evaluar el limite

Fracciones parciales

  • Nos sirven expresar funciones racionales (división de polinomios) del tipo $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ en una suman de fracciones mas simples
  • Proceso:
    1. Identificar cual de los 4 tipos de función racional tenemos (lineal no repetidas, lineal repetidas, cuadráticos no repetidos, cuadráticos repetidos)
    2. Igualamos la función a las fracciones parciales correspondientes con las incógnitas $A,B,C, \ldots, Z$
    3. sacamos comun denominador y hacemos multiplicaciones necesarias en el numerador, para dejar ambos lados de la igualdad con el mismo denominador, el cual se elimina de ambos lados
    4. Agrupamos términos del mismo orden y ahora podemos hacer igualaciones de los coeficientes para obtener un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son $A,B,C, \ldots, Z$
    5. Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos los valores en las fracciones del paso 2

Lineales No Repetidas

$$\dfrac{P(x)}{(x-C_1)(x-C_2)\cdots(x-C_n)} = \dfrac{A}{x-C_1}+\dfrac{B}{x-C_2}+\dfrac{C}{x-C_3}+\cdots+\dfrac{Z}{x-C_n}$$

Lineales Repetidas

$$\dfrac{P(x)}{(x-C_1)^n} = \dfrac{A}{x-C_1}+\dfrac{B}{(x-C_1)^2}+\dfrac{C}{(x-C_1)^3}+\cdots+\dfrac{Z}{(x-C_1)^n}$$

Cuadráticos No Repetidos

$$\dfrac{P(x)}{(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)\cdots(a_nx^2+b_nx+c_n)} = \dfrac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{Cx+D}{a_2x^2+b_2x+c_2}+\cdots+\dfrac{Yx + Z}{a_nx^2+b_nx+c_n}$$

Cuadráticos Repetidos

$$\dfrac{P(x)}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^n} = \dfrac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{Cx+D}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^2}+\cdots+\dfrac{Yx + Z}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^n}$$

Logaritmos

  • Son otra forma de escribir un exponente
  • Son el inverso de la notación exponencial
  • Son el Exponente ($E$) al que hay que elevar la base ($b$) para obtener el argumento $A$ del logaritmo

$$A = b^E \Longleftrightarrow E = \log_b(A)$$

  • Logaritmo Neperiano ($\ln$) es el logaritmo donde la base es el numero de Euler ($e$) es decir $\log_e(x)=\ln(x)$

  • Si no se especifica la base por convención se asume que la base es decimal $\log_{10}(x)=\log(x)$

Logaritmos
$\log(M^P) = P\log(M)$
$\log(MN) = \log(M)+\log(N)$
$\log(M/N) = \log(M)-\log(N)$
$\log(1) = 0$
$\log_b(b) = 1$

Función logarítmica

$$y = f(x) , x > 0 , b > 0 , b \ne 1 $$ $$\boxed{y = \log_b(x) \Leftrightarrow b^y = x}$$ $$\boxed{y = \ln(x) \Leftrightarrow e^y = x}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \log_b(x) = -\infty $$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \log_b(x) = +\infty$$

Trigonometría

plano complejo

$$\sin(x)=\dfrac{CO}{H}$$ $$\cos(x)=\dfrac{CA}{H}$$ $$\tan(x)=\dfrac{CO}{CA}$$ $$\csc(x)=\dfrac{H}{CO}$$ $$\sec(x)=\dfrac{H}{CA}$$ $$\cot(x)=\dfrac{CA}{CO}$$

$$\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ $$\sin(x) = \dfrac{1}{\csc(x)}$$ $$\cos(x) = \dfrac{1}{\sec(x)}$$ $$\cot(x) = \dfrac{1}{\tan(x)}$$ $$\csc(x) = \dfrac{\sec(x)}{\tan(x)}$$ $$\sec(x) = \dfrac{\csc(x)}{\cot(x)}$$

$$\boxed{\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1}$$ $$\sin^2(x) = (1/2)(1-\cos(2x))$$ $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$ $$\cos(2x) = 1- 2\sin^2(x)$$

Calculo

  • El calculo se centra en dos operaciones la derivación y la integración, ambas definidas en términos de limites, la relaciona entre estas operaciones constituye el Teorema Fundamental del Calculo

Derivada

  • Sea $f$ una función real y sea $x_0$ un numero perteneciente a los reales ($x \in \mathbb{R}$). Se dice que $f$ es derivable en $x_0$ denominada derivada de $f$ en $x_0$ y denotada por $f'(x_0)$ si existe el siguiente limite:

$$f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

  • Si $h=x-x_0$ entonces $x=x_0+h$ y como cuando $x$ tiende a $x_0$ ($x \rightarrow x_0$) entonces $h$ tiende a cero ($h \rightarrow 0$) por lo tanto

$$f'(x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

  • Rescribiendo para $x$ tenemos la definición de derivada

$$\boxed{f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

  • La derivada es la pendiente de la recta tangente en un cierto punto de una función.
    • Recta secante es una recta que pasa por dos puntos de una función $f$ considerando esta recta, al dejar un punto fijo ($x$) y tomando valores cada vez mas cercanos a este punto fijo ($h \rightarrow 0$) obtenemos una colección de rectas secantes, la recta a la que tienden estas secantes es la recta tangente la cual tiene la forma $y_{T} = f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)$

  • Derivabilidad implica continuidad: Cualquier función derivable en un punto $x_0$ es continua en dicho punto
  • Derivadas sucesivas $\dfrac{d^n}{dx^n}f(x)$ son las obtenidas al derivar mas de una vez una función obteniendo la segunda derivada ($f''(x)$), tercer derivada ($f'''(x)$), etc.

Propiedades de la Derivada

Propiedad Generalización
Suma de derivadas $f(x) = g(x) + h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)$
Producto por constante $f(x) = a \cdot g(x) \Rightarrow f'(x) = a \cdot g'(x)$
Producto de funciones $f(x) = g(x) \cdot h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$
División de funciones $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$
Composición de funciones $(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$

Composición de funciones se define como $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ y $(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Derivadas de funciones elementales

Función Derivada
$f(x) = k$ $f'(x) = 0$
$f(x) = kx + b$ $f'(x) = k$
$f(x) = x^n $ $f'(x) = nx^{n-1}$
para $x \ne 0$ si $n \le 0$
$f(x) = \sqrt{x}$ $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x) = \sin(x)$ $f'(x) = \cos(x)$
$f(x) = \cos(x)$ $f'(x) = -\sin(x)$
$f(x) = \tan(x)$ $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$
$f(x) = \arctan(x)$ $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$
$f(x) = \arcsin(x)$ $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f(x) = \arccos(x)$ $f'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f(x) = e^{kx}$ $f'(x) = ke^{kx}$
$f(x) = \ln(x)$ $f'(x) = \dfrac{1}{x}$
$f(x) = a^x$ $f'(x) = a^x \cdot \ln{a}$
$f(x) = \log_{a}x$ $f'(x) = \dfrac{1}{x\ln{a}}$

Regla de la cadena

Regla de la cadena se usa cuando nos piden derivar una funcion $f(u)$ pero $u$ depende de $x$, es decir $u=u(x)$, en estos casos la derivada con respecto de $x$ ($f'=\dfrac{df}{dx}$) es $$\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$$

Función Derivada
$f(x) = (g(x))^n$ $f'(x) = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$
$f(x) = \sin(g(x))$ $f'(x) = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$f(x) = \cos(g(x))$ $f'(x) = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$f(x) = \tan(g(x))$ $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{\cos^2(g(x))} = (1 + \tan^2(g(x)))\cdot g'(x)$
$f(x) = \arctan(g(x))$ $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{1+(g(x))^2} $
$f(x) = \arcsin(g(x))$ $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{\sqrt{1-(g(x))^2}}$
$f(x) = \arccos(g(x))$ $f'(x) = -\dfrac{g'(x)}{\sqrt{1-(g(x))^2}}$
$f(x) = e^{g(x)}$ $f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$f(x) = \ln(g(x))$ $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$
$f(x) = a^{g(x)}$ $f'(x) = a^{g(x)} \cdot \ln{a} \cdot g'(x)$
$f(x) = \log_{a}g(x)$ $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{\ln{a} \cdot g(x)} $

Polinomio de Taylor

  • Polinomio de Taylor La idea es encontrar un polinomio ($P(x)$) que aproxime a una función ($f(x)$) alrededor de un cierto punto ($x=a$).
    • Si $a=0$ es decir estra centrado en $x=0$ se le llama Polinomio de McLaurin

$$f(x) \approx P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \sum_{n=o}^n \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Derivación implícita

  • Para funciones en los que la variable dependiente ($y$) no esta despejada se puede seguir la regla de derivación implícita que consiste en:
    1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto de la variable independiente ($x$)
    2. para miembros que tengan solo términos de $x$ se deriva normalmente con respecto a $x$
    3. para miembros que tengan solo términos de $y$ se deriva con respecto a $y$ se usa la regla de la cadena ya que se puede considerar a $y=g(x)$, es decir se deriva como si fuera con respecto a $y$ y se agrega un termino de $y'$ (recordando que $y'=\dfrac{dy}{dx}$)
    4. Para miembros con $x$ y $y$ usar la propiedad de multiplicación de derivadas

Regla de L'Hôpital

  • Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones derivables en un punto $x=a$ de forma que $g'(a) \ne 0$ tales que $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 0$ y $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$ entonces se cumple
    • Usado para calcular limites con indeterminación del tipo $0/0$
    • Se puede aplicar en cadena, es decir varias veces siempre y cuando se siga dando la indeterminación del tipo $0/0$

$$ \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} $$

Aplicaciones de la derivada

Crecimiento/Decrecimiento

  • Se dice que una función creciente o decreciente en un conjunto $S$ donde para todo par de $x_1$ y $x_2$ de $S$ de forma que $x_1 < x_2$ se cumple que:
    • Creciente: $f(x_2) \ge f(x_1)$ por lo que $f'(x) > 0$ (La derivada es positiva) y viceversa si $f'(x) > 0$ la función es creciente
    • Decreciente: $f(x_2) \le f(x_1)$ por lo que $f'(x) < 0$ (La derivada es negativa) y viceversa si $f'(x) < 0$ la función es decreciente
  • Para ver si una función es creciente o decreciente se puede
    1. derivar la función
    2. igualar a cero la derivada (Buscamos ver cuando cambia de signo la pendiente) y resolver la ecuación para $x$
    3. evaluar la derivada antes y después del punto encontrado anteriormente, si son varios puntos evaluar antes y después de cada punto. Donde sea positiva es creciente y donde sea negativa es decreciente

Máximos/Mínimos

  • Sea $f$ definida en $c$ si $f'(c) = 0$ o bien $f$ NO es derivable en $c$ entonces $c$ es un valor critico o punto critico
  • Para encontrar los máximos y mínimos en un intervalo $[a,b]$ se puede:
    1. Encontrar todos los puntos críticos (puntos en los que $f'(c) = 0$ o f$ NO es derivable) en el intervalo
    2. Evaluar $f$ en los puntos críticos encontrados con anterioridad y que estén en el intervalo $(a,b)$
    3. Evaluar $f$ en los extremos $a$ y $b$
    4. El valor mas grande de los valores obtenidos en los pasos anteriores es un máximo y el valor mas pequeño es un mínimo en el intervalo $[a,b]$

No todos los valores críticos son máximos o mínimos

  • El Criterio de la primea derivada dice que, en algún intervalo $I$:
    • Si $f'(x)$ cambia en $c$ de negativa (decreciente) a positiva (creciente) $f(c)$ es un mínimo relativo
    • Si $f'(x)$ cambia en $c$ de positiva (creciente) a negativa (decreciente) $f(c)$ es un máximo relativo
  • Sea $f$ una función derivable en un intervalo $I$ en ese intervalo:
    • La grafica de $f$ es cóncava hacia arriba ($\bigcup$) si $f''(x) > 0$
    • La grafica de $f$ es cóncava hacia abajo ($\bigcap$) si $f''(x) < 0$
  • Punto de inflexión ($c_i$) de un función es aquel en el que la concavidad cambia de sentido es decir $f''(c_i) =0$ o bien $f''(c_i)$ no existe (No es derivable)
  • El Criterio de la segunda derivada dice que siendo $c$ un punto critico en algún intervalo $I:
    • Si $f''(c) > 0$ entonces $f(c)$ es un mínimo relativo
    • Si $f''(c) < 0$ entonces $f(c)$ es un máximo relativo
    • Si $f''(c) = 0$ en $f(c)$ el criterio no decide y hay que usar el criterio de la primera derivada

Integral

  • La primitiva o calculo de la integral es una función $F(x)$ que al derivarla da $f(x)$ es decir: $\dfrac{dF(x)}{dx} = F'(x) = f(x)$

$$\boxed{\intop{f(x)dx} = F(x) \Longleftrightarrow F'(x)=\dfrac{F(x)}{dx} = f(x)}$$

Integral definida

  • Se refiere al área bajo la curva en un intervalo $a,b$ dado de una funcion

$$\boxed{\int_a^b f(x)dx = F(x) \Big\vert_{a}^b = F(b) - F(a)}$$

Propiedades de la Integral

Propiedad Generalización
Linealidad $$\intop{(f(x)+g(x))dx}=\intop{f(x)dx} + \intop{g(x)dx}$$
Producto por constante $$\intop{kf(x)dx}=k\intop{f(x)dx}$$
Invertir Evaluación $$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx $$
Evaluación mismo punto $$\int_a^a f(x)dx = 0$$
Evaluación de Función par
si $f(x)$ es par $f(-x)=f(x)$
$$\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$$

Integrales de funciones elementales

Integrales
$$\intop{x^ndx}=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ para $n \ne -1$
$$\intop{\dfrac{1}{x} dx} = \ln{|x|} + C$$
$$\intop{\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx} = \ln(|f(x)|) + C$$
$$\intop{a^udu} = \dfrac{a^u}{\ln(a)} + C$$
$$\intop{e^udu} = e^u + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{\sqrt{u^2+a^2}} du} = \ln(u+\sqrt{u^2+a^2}) + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{\sqrt{u^2-a^2}} du} = \ln|u+\sqrt{u^2-a^2}| + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{u^2-a^2} du} = (1/2a) \ln\left(\dfrac{u-a}{u+a}\right) + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{a^2-u^2} du} = (1/2a) \ln\left(\dfrac{u+a}{u-a}\right) + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{u\sqrt{a^2 \pm u^2}} du} = (-1/a) \ln\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2 \pm u^2}}{|u|}\right) + C$$
Integrales
$$\intop{\dfrac{1}{x^2+1} dx} = \arctan(x) + C$$
$$\intop{\cos(x)dx} = \sin(x) + C$$
$$\intop{\sin(x)dx} = -\cos(x) + C$$
$$\intop{\tan(x)dx} = -\ln(|cos(x)|) + C$$
$$\intop{f'(x)(f(x))^ndx} = \dfrac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + C$$
$$\intop{\dfrac{f'(x)}{(f(x))^2+1}dx} = \arctan(f(x)) + C$$
$$\intop{f'(x)\cos(f(x))dx} = \sin(f(x)) + C$$
$$\intop{f'(x)\sin(f(x))dx} = -\cos(f(x)) + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{\sqrt{a^2-u^2}} du} = \arcsin(\dfrac{u}{a}) + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{u^2+a^2} du} = \dfrac{1}{a} \arctan(\dfrac{u}{a}) + C$$
$$\intop{\dfrac{1}{u\sqrt{u^2-a^2}} du} = \dfrac{1}{a} arcsec(\dfrac{u}{a}) + C$$

Integración de potencias sumas uno al exponente y el resultado se pone dividiendo (el inverso multiplica)

  • Para división de polinomios (funciones racionales) del tipo $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ se puede intentar descomponer en fracciones parciales para intentar dejar polinomios mas simples para integrar
  • Si se busca integrar una función del tipo $\dfrac{A}{ax^2+bx+c}$ donde $b^2-4ac < 0$ se puede completar al cuadrado el denominador (reorganizarlo) y dejarlo en la forma de la integral de la arcotangente
  • El método de integración de cambio de variable es el mas comun y usualmente se usa para funciones que tiene exponentes o radicales, se basa en sustituir términos o expresiones por una variable (por ejemplo $u$), derivar para obtener el diferencial $du$ sustituir en la integral original para buscar obtener una expresión en términos de la nueva variable $u$ que sea mas simple e integrable
    • Si después de sustituir en términos de la nueva variable la integral no se simplifica el método quizá no sea el adecuado para esta integral
  • El método de integración por partes se usa para integrar funciones conformadas por el producto de funciones mas simples ($u(x)$ y $\nu(x)$) y estas funciones no están relacionados (por ejemplo una siendo al derivada de la otra)
    1. Se toma una de las funciones como $u$
    2. El resto de la expresión que debe ser la otra función junto con el diferencial se toma como $d\nu$
    3. se integra $d\nu$ para obtener $\nu$
    4. se usa la formula $\intop{ud\nu} = u\nu - \intop{\nu du}$ donde la ultima integral debería de ser mas fácil que resolver que la original

      $u$ es algo que queremos derivar y $d\nu$ es algo que queremos integrar

la integración por partes se puede aplicar varias veces buscando quizá obtener un termino de la integral individual que se pueda agrupar y despejar

  • El método de integración de sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tengan términos del tipo $\sqrt{a^2 \pm u^2}$ o $\sqrt{u^2-a^2}$

sustitución trigonométrica

Teorema fundamental del calculo

  • De manera informal si se tienen una función $f(x)$ y se obtiene su derivada el área bajo la curva de la derivada es la función original $f(x)$

$$\boxed{\boxed{\intop{\dfrac{df(x)}{dx}dx = f(x)}}}$$

El area bajo la curva de la función que nos dice como cambia $f(x)$ con respecto a $x$ (la derivada) es la función original

Referencias

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